積分　x^α

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ ･･････(1)

※${\displaystyle \alpha }$の値は${\displaystyle -1}$以外の実数

(1)式は${\displaystyle x^{\alpha }}$を積分したものである．積分は微分と逆の操作だと考えることができる．

ある関数を積分し，それを微分すると，元の関数に戻る．

${\displaystyle \frac{1}{a+1}{x}^{\alpha +1}}$を微分すると以下のようになる．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}\right)=\frac{1}{\alpha +1}.\left(\alpha +1\right)x^{\alpha }}$

${\displaystyle =x^{\alpha }}$ 　　　⇒ここを参照

よって，${\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}}$は${\displaystyle x^{\alpha }}$の原始関数である．従って，不定積分の定義より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$

以下に積分の具体例を示す．

■例

${\displaystyle x^{\alpha }}$の${\displaystyle \alpha }$を3と置いたときの関数${\displaystyle x^3}$を積分する．

${\displaystyle {\displaystyle \int x^3}dx=\frac{1}{3+1}{x}^{3+1}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{x}^4+C}$

となる．ここで，結果を微分して${\displaystyle x^3}$に戻るかどうか確認すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}{x}^4+C\right)=x^3}$

となり，元に戻った．

※の${\displaystyle \alpha \ne -1}$とあるが，${\displaystyle \alpha =-1}$の時は(1)式の左辺${\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}}$の分母が0になり，(1)式は成立しない．

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{-1}}dx=\frac{1}{-1+1}{x}^{-1+1}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{0}{x}^0+C}$

従って，${\displaystyle \alpha =-1}$の時は別の方法で積分しなければならない．⇒ここを参照

　

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最終更新日 2023年10月3日